\( \sin^4(x) \) 的积分

推导与计算

求积分：

\[ \int \sin^4(x) \, dx \]

将其改写为：

\[ = \int \sin^2(x) \sin^2(x) \, dx \]

使用三角恒等式 \( \sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) 来改写积分：

\[ = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos(2x))(1 - \cos(2x)) \, dx = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos(2x))^2 \, dx \]

展开被积函数：

\[ = \dfrac{1}{4} \int (1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)) \, dx \]

使用三角恒等式 \( \cos^2 \theta = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(2\theta)) \)，当 \( \theta = 2x \) 时得到 \( \cos^2(2x) = \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \)：

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( 1 - 2\cos(2x) + \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4x)) \right) dx \]

化简积分内的各项：

\[ = \dfrac{1}{4} \int \left( \dfrac{3}{2} - 2\cos(2x) + \dfrac{1}{2}\cos(4x) \right) dx \]

利用诸如 \( \int \cos(kx) \, dx = \dfrac{1}{k}\sin(kx) + c \) 等标准积分公式计算各项：